Phi es uno de los dos únicos números mórficos, que son aquellos números mayores a 1 en los que existen dos números k y m tales que p+1=pk y p-1=pm. Con k=2 y m=1, p vale la razón áurea, mientras que con k=3 y m=4 sale el llamado número plástico (1.3247179...). Aarts, Fokkink y Kruijtzer demostraron en 2001 que no hay más números mórficos. El número plástico fue usado por el monje Hans van der Laan (1904-1991) en sus construcciones arquitectónicas.
Se dice que un rectángulo es áureo si sus lados guardan una proporción áurea. Un rectángulo se puede dividir en un cuadrado y un rectángulo, haciendo que el cuadrado tenga de lado el lado menor. El rectángulo sobrante tendrá de lado mayor el que era lado menor del primer rectángulo. Si el primer rectángulo era áureo, también lo será el segundo y así sucesivamente. Se ha encontrado que este rectángulo es una especie de canon de belleza, es el rectángulo mejor proporcionado. Por ejemplo, la fachada del templo griego del Partenon de Atenas (siglo V a.C.) se inscribe en un rectángulo de este tipo. También se encuentran rectángulos así en la catedral de Notre-Dame de París, el edificio de la ONU en Nueva York, en muchos elementos arquitectónicos (puertas, ventanas...) y en muchos documentos actuales (carnets de identidad, tarjetas de crédito...). Teniendo un rectángulo áureo es fácil ver si otro lo es, pues basta con poner un rectángulo delante del otro e intentar ajustarlo a él acercándolo o alejándolo de nuestros ojos.
También hay quienes encuentran este número mágico en la naturaleza, aunque hay algunas discusiones. Por ejemplo, las conchas de algunos animales que se enroscan (caracoles), como el nautilus o incluso algunos fósiles como los anmonites, siguen una espiral logarítmica que algunos la relacionan con una espiral áurea, en la que la razón áurea marca el ritmo de acercamiento al punto central. Bernoulli (1654-1705) pidió que en su tumba se grabara una espiral logarítmica, por la belleza que ahí encontró. También siguen este tipo de espiral las hojas y pétalos de algunas plantas (como los girasoles o las piñas), pero es difícil entusiasmarse porque es difícil encontrar dos plantas iguales.
El arquitecto suizo Le Corbusier también trabajó con este número como si fuera la proporción perfecta, por ejemplo en el cuerpo humano en multitud de sitios tales como la proporción entre la distancia del ombligo al suelo y la distancia del ombligo a la cabeza. Antes que eso, Leonardo da Vinci estableció su canon de belleza en su famoso hombre de Vitrubio (nombre dado por el arquitecto romano del siglo I a.C. de ese nombre). Ese famoso dibujo representa un hombre inscrito en una circunferencia con centro en el ombligo, y con un cuadrado con centro en el perineo. En el hombre de Vitrubio se obtiene el número áureo del cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia). Resulta curioso que Da Vinci incluyera la altura del pelo dentro de la altura del hombre. Algunos han querido ver también Phi en otras proporciones que no cumple el hombre de Vitrubio, como la razón entre las distancias del hombro hasta la punta de los dedos de la mano extendida, y desde el codo hasta la punta extendida de los dedos. Si le quitamos la altura del pelo, también podemos ver Phi como la división entre la distancia del ombligo al suelo y la distancia del ombligo a la cabeza.
Otros han querido ver en Phi el canon de la belleza facial estableciendo que una persona es más bella si tiene Phi como relación entre distintas medidas de su cara, por ejemplo la relación entre el tamaño de la boca y la anchura de la nariz. Aunque Rafael Alberti le dedicó una poesía, parece que psicológicamente no hay nada que convierta a ese número en una proporción perfecta de belleza y estudios psicológicos sitúan esa proporción entre 1 y 2.2, por lo que podría ser Phi o no.
El número Pi, p, representado por la letra minúscula griega de igual nombre, es la razón entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro (p=Perímetro/Diámetro). Es un número muy relevante y la obtención de sucesivas cifras decimales ha sido y sigue siendo objeto de estudio. A continuación exponemos algunos hechos relacionados con este número:
En distintas culturas (china, egipcia, europea, india...) se trató de obtener mejores aproximaciones de p por ser de aplicación en campos tan distintos como la astronomía o la arquitectura.
Modernamente para evaluar p se utiliza una serie infinita convergente, método que fue utilizado por primera vez en Kerala (India) en el Siglo XV.
La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos entre si es 6/p2.
Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo obtusángulo es (p-2)/4.
En 1706, el inglés William Jones fue el primero en utilizar la letra griega para denotar este número. Euler en su obra "Introducción al cálculo infinitesimal", publicada en 1748, afianzó definitivamente esta notación.
Muchos intentos para determinar p con exactitud están relacionados con el clásico problema de la cuadratura del círculo : "construir, utilizando únicamente regla y compás, un cuadrado de área igual a un círculo dado".
Johan Heinrich Lambert (1728-1777), matemático alemán, probó que p es irracional.
Ferdinand Lindemann (1852-1939) demostró que p es un número trascendente. Esto significa entre otras cosas que el problema de la cuadratura del círculo no tiene solución. Pese a ello, todavía se sigue intentando.
El matemático francés Maurice Decerf, escribió un poema de 126 palabras en el que cada palabra, por orden, tiene tantas letras como un dígito de p, en el mismo orden (el cero lo representaba con una palabra de 10 letras). Los 2 primeros versos nos dan 13 decimales: Que j'aime à faire connaître un nombre utile aux sages Glorieux Archimède artiste ingenieux.
Versos y frases como el anterior existen en multitud de idiomas, como por ejemplo la frase de Julio Zuniga: Con 1 palo y 5 ladrillos se pueden hacer mil cosas. Los siguientes versos de nuestra pluma nos dan 77 decimales:
Ves a Dios y sabes realmente lo oculto,
magia con magia, tremenda maravilla,
cálculo laborioso con no más misterio:
Este número es mágico.
Sólo ves los primeros,
mas no quieras registrar todos.
Suponiendo su infinito, infinita cosa
y maravilla sientes y tienes.
Admiradlo con sencillez increible,
más respeto total y lentamente surge
eminente la formidable infinitud,
sentida como grandiosa.
Esta gran cifra simboliza la paz,
comuniones comunes, justicia y cariño.
Cada provechoso pueblo
es buscador tozudo de maravillas.
Algunos valores de p obtenidos antes de 1900:
Papiro Rhind o de Ahmes (Egipto, 4000 a.C.), que es uno de los documentos matemáticos más antiguos: (16/9)2 = 3.160494;
Tablilla de Susa (Babilonia, 1600 a.C.): 3.125;
La Biblia (Reyes-I-7-23, 550 a.C.): 3;
Bandhayana (India, 500 a.C.): 3.09;
Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.): Entre 223/71 y 220/70;
Liu Hui (China, 260 d.C.): 3.1416;
Tsu Chung Chih (480 d.C.): Entre 3.145926 y 3.1415927;
Al-Khowarizmi (800 d.C.): 3.1416 (3 decimales correctos);
Bhaskhara, el Sabio (India, siglo XII): 3 + 17/120;
Fibonacci (1220 d.C.): 3.141818;
Al-Kashi (Persia, 1429): 14 decimales;
Franciscus Viete (Francia, 1540-1603, en 1593): 9 decimales;
Newton (Inglaterra, 1642-1727, en 1665 d.C.): 16 decimales;
William Shanks, matemático inglés, dedico 20 años de su vida a la obtención de 707 decimales de p. En 1945 se descubrió que había cometido un error en el decimal 528 y a partir de éste todos los demás eran incorrectos.
Con los ordenadores todo fue mucho más fácil:
En 1949, Reitwiesner con uno de los primeros ordenadores el ENIAC, trabajando durante 70 horas, determinó p con 2037 decimales.
En 1959, Guilloud obtuvo 16.167 decimales.
En 1961 Daniell Shanks y Wrench, obtuvieron en 8 horas y 23 minutos, 100.265 cifras en un ordendador IBM 7090.
En Octubre de 1995, Daisuke Takahashi y Yasumasa Kanada llegaron a obtener 6.442.450.938 decimales tras superar varios records suyos anteriores.
En Julio de 1997, los mismos Yasumasa Kanada y Daisuke Takahashi obtuvieron 51.539.600.000 cifras, utilizando un ordenador HITACHI SR2201 con 1024 procesadores.
Valor de p con 20000 decimales: 3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989
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